Mensuration – VCA

ಚೌಕ

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(ಬಾಹು \times ಬಾಹು = a^2\)

ಪರಿಧಿ: \(4 \times ಬಾಹು = 4a\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ

1. ಒಂದು ಚೌಕದ ಬಾಹು 5 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಪರಿಧಿ} = 4a = 4 \times 5 = 20 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ಚೌಕದ ಪರಿಧಿ 36 ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:
\(4a = 36 \text{ ಮೀ.} \implies a = 36 / 4 = 9 \text{ ಮೀ.}\)
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = a^2 = 9^2 = 81 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)

3. 144 ಚ.ಅಡಿ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಿರುವ ಚೌಕದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(a^2 = 144 \implies a = \sqrt{144} = 12 \text{ ಅಡಿ}\)
\(\text{ಪರಿಧಿ} = 4a = 4 \times 12 = 48 \text{ ಅಡಿ}\)

4. ಒಂದು ಚೌಕದ ಬಾಹುವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:
ಮೂಲ ಬಾಹು ‘a’ ಆಗಿರಲಿ. ಹೊಸ ಬಾಹು = ‘2a’.
\(\text{ಮೂಲ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = a^2\)
\(\text{ಹೊಸ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = (2a)^2 = 4a^2\). ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 4 ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ.

5. ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ ಬಾಹು 100 ಮೀ. ಇದೆ. ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್‌ಗೆ ₹20 ರಂತೆ ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ತಗಲುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಪರಿಧಿ} = 4a = 4 \times 100 = 400 \text{ ಮೀ.}\)
\(\text{ವೆಚ್ಚ} = 400 \times 20 = ₹8000\)

ಆಯತ

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(ಉದ್ದ \times ಅಗಲ = l \times w\)

ಪರಿಧಿ: \(2 \times (l+w)\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ

1. ಒಂದು ಆಯತವು 10 ಸೆಂ.ಮೀ. ಉದ್ದ ಮತ್ತು 8 ಸೆಂ.ಮೀ. ಅಗಲವಿದೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = l \times w = 10 \times 8 = 80 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಪರಿಧಿ} = 2(l + w) = 2(10 + 8) = 36 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಜಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 240 ಚ.ಮೀ. ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದ 20 ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(240 = 20 \times w \implies w = 12 \text{ ಮೀ.}\)
\(\text{ಪರಿಧಿ} = 2(20 + 12) = 64 \text{ ಮೀ.}\)

3. ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ತೋಟದ ಪರಿಧಿ 100 ಅಡಿ ಮತ್ತು ಅಗಲ 20 ಅಡಿ ಇದೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:
\(100 = 2(l + 20) \implies 50 = l + 20 \implies l = 30 \text{ ಅಡಿ}\)
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = 30 \times 20 = 600 \text{ ಚ.ಅಡಿ}\)

4. 3 ಸೆಂ.ಮೀ. ಮತ್ತು 4 ಸೆಂ.ಮೀ. ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಆಯತದ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ: \(d^2 = l^2 + w^2\)
\(d^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(d = \sqrt{25} = 5 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

5. ಒಂದು ಕೋಣೆ 15 ಮೀ. ಉದ್ದ ಮತ್ತು 12 ಮೀ. ಅಗಲವಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಚದರ ಮೀಟರ್‌ಗೆ ₹50 ರಂತೆ ಕಾರ್ಪೆಟ್ ಹಾಕಲು ತಗಲುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = 15 \times 12 = 180 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)
\(\text{ವೆಚ್ಚ} = 180 \times 50 = ₹9000\)

ತ್ರಿಭುಜ

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(\frac{1}{2} \times ಪಾದ \times ಎತ್ತರ\)

ಪರಿಧಿ: \(a + b + c\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ

1. ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಪಾದ 10 ಸೆಂ.ಮೀ. ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 6 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. 5 ಸೆಂ.ಮೀ., 7 ಸೆಂ.ಮೀ., ಮತ್ತು 8 ಸೆಂ.ಮೀ. ಬಾಹುಗಳಿರುವ ತ್ರಿಭುಜದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಪರಿಧಿ} = a + b + c = 5 + 7 + 8 = 20 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

3. ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 50 ಚ.ಮೀ. ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾದ 20 ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(50 = \frac{1}{2} \times 20 \times h \implies 50 = 10h \implies h = 5 \text{ ಮೀ.}\)

4. ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹು 4 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಪರಿಧಿ} = 3 \times ಬಾಹು = 3 \times 4 = 12 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

5. 6 ಸೆಂ.ಮೀ. ಪಾದ ಮತ್ತು 8 ಸೆಂ.ಮೀ. ಎತ್ತರವಿರುವ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ವಿಕರ್ಣ} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಪರಿಧಿ} = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

ವೃತ್ತ

ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(\pi r^2\)

ಪರಿಧಿ: \(2 \pi r\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (\(\pi \approx 3.14\))

1. ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ 10 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = \pi r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಪರಿಧಿ} = 2\pi r = 2 \times 3.14 \times 10 = 62.8 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ 94.2 ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(2\pi r = 94.2 \implies r = 94.2 / (2 \times 3.14) = 15 \text{ ಮೀ.}\)
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = \pi r^2 = 3.14 \times 15^2 = 706.5 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)

3. ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪಿಜ್ಜಾದ ವ್ಯಾಸ 14 ಇಂಚು. ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:
\(r = d/2 = 14/2 = 7 \text{ ಇಂಚು}\)
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154 \text{ ಚ.ಇಂಚು}\)

4. 5 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{3.14 \times 5^2}{2} = 39.25 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

5. ಒಂದು ಕಾರಿನ ಚಕ್ರದ ತ್ರಿಜ್ಯ 35 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದು 100 ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ದೂರ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{1 ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ದೂರ} = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 220 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಒಟ್ಟು ದೂರ} = 220 \times 100 = 22000 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.} = 220 \text{ ಮೀ.}\)

ಘನ

ಘನಫಲ: \(a^3\)

ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(6a^2\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ

1. ಒಂದು ಘನದ ಬಾಹು 4 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಘನಫಲ} = a^3 = 4^3 = 64 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = 6a^2 = 6 \times 4^2 = 96 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ಘನದ ಘನಫಲ 125 ಘ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(a^3 = 125 \implies a = \sqrt[3]{125} = 5 \text{ ಮೀ.}\)

3. ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 150 ಚ.ಅಡಿ ಇದೆ. ಅದರ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(6a^2 = 150 \implies a^2 = 25 \implies a = 5 \text{ ಅಡಿ}\)
\(\text{ಘನಫಲ} = a^3 = 5^3 = 125 \text{ ಘ.ಅಡಿ}\)

4. 10 ಸೆಂ.ಮೀ. ಬಾಹುವಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಘನದಿಂದ 2 ಸೆಂ.ಮೀ. ಬಾಹುವಿರುವ ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಘನಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ದೊಡ್ಡ ಘನದ ಘನಫಲ} = 10^3 = 1000 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಚಿಕ್ಕ ಘನದ ಘನಫಲ} = 2^3 = 8 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಘನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ} = 1000 / 8 = 125\)

5. 3 ಮೀ. ಬಾಹುವಿರುವ ಘನಾಕೃತಿಯ ತೊಟ್ಟಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಚ.ಮೀ. ಗೆ ₹10 ರಂತೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲು ತಗಲುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = 6a^2 = 6 \times 3^2 = 54 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)
\(\text{ವೆಚ್ಚ} = 54 \times 10 = ₹540\)

ಆಯತ ಘನ

ಘನಫಲ: \(l \times w \times h\)

ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(2(lw + lh + wh)\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ

1. ಒಂದು ಆಯತ ಘನದ ಅಳತೆಗಳು 5x4x3 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇವೆ. ಅದರ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಘನಫಲ} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = 2(5 \times 4 + 5 \times 3 + 4 \times 3) = 94 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ಮೀನಿನ ತೊಟ್ಟಿ 50 ಸೆಂ.ಮೀ. ಉದ್ದ, 30 ಸೆಂ.ಮೀ. ಅಗಲ ಮತ್ತು 40 ಸೆಂ.ಮೀ. ಎತ್ತರವಿದೆ. ಅದು ಎಷ್ಟು ಲೀಟರ್ ನೀರನ್ನು ಹಿಡಿಯಬಲ್ಲದು? (1000 ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ. = 1 ಲೀಟರ್)

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಘನಫಲ} = 50 \times 30 \times 40 = 60000 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.} = 60 \text{ ಲೀಟರ್}\)

3. ಒಂದು ಆಯತ ಘನದ ಘನಫಲ 300 ಘ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಉದ್ದ 10 ಮೀ. ಮತ್ತು ಅಗಲ 6 ಮೀ. ಆದರೆ, ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(300 = 10 \times 6 \times h \implies 300 = 60h \implies h = 5 \text{ ಮೀ.}\)

4. 12 ಮೀ. ಉದ್ದ, 9 ಮೀ. ಅಗಲ ಮತ್ತು 8 ಮೀ. ಎತ್ತರದ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಇಡಬಹುದಾದ ಅತಿ ಉದ್ದದ ಕೋಲಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಕರ್ಣ} = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 9^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17 \text{ ಮೀ.}\)

5. ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಅಳತೆಗಳು 2×1.5×1 ಮೀ. ಇವೆ. ಪ್ರತಿ ಚ.ಮೀ. ಗೆ ₹25 ರಂತೆ ಹಲಗೆಗೆ ತಗಲುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = 2(2 \times 1.5 + 2 \times 1 + 1.5 \times 1) = 13 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)
\(\text{ವೆಚ್ಚ} = 13 \times 25 = ₹325\)

ಸಿಲಿಂಡರ್

ಘನಫಲ: \(\pi r^2 h\)

ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(2\pi r(r + h)\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (\(\pi \approx \frac{22}{7}\))

1. ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್‌ನ ತ್ರಿಜ್ಯ 7 ಸೆಂ.ಮೀ. ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 10 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(V = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 10 = 1540 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{TSA} = 2 \times \frac{22}{7} \times 7(7 + 10) = 748 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದ ತೊಟ್ಟಿಯ ಘನಫಲ 6160 ಘ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಪಾದದ ತ್ರಿಜ್ಯ 14 ಮೀ. ಆದರೆ, ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(6160 = \frac{22}{7} \times 14^2 \times h \implies 6160 = 616h \implies h = 10 \text{ ಮೀ.}\)

3. 7 ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು 5 ಮೀ. ಎತ್ತರವಿರುವ ಸಿಲಿಂಡರ್‌ನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{CSA} = 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 5 = 220 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)

4. ಒಂದು ರೋಡ್ ರೋಲರ್ 2 ಮೀ. ಉದ್ದ ಮತ್ತು 84 ಸೆಂ.ಮೀ. ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 7920 ಚ.ಮೀ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸಮತಟ್ಟು ಮಾಡಲು ಅದು ಎಷ್ಟು ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು?

ಪರಿಹಾರ:
\(r = 0.42 \text{ ಮೀ.}, h = 2 \text{ ಮೀ.}\).
\(\text{CSA} = 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 2 = 5.28 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)
\(\text{ಸುತ್ತುಗಳು} = 7920 / 5.28 = 1500\)

5. 14 ಮೀ. ವ್ಯಾಸದ ಬಾವಿಯನ್ನು 8 ಮೀ. ಆಳಕ್ಕೆ ಅಗೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹೊರತೆಗೆದ ಮಣ್ಣಿನ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(r = 7 \text{ ಮೀ.}, h = 8 \text{ ಮೀ.}\)
\(V = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 8 = 1232 \text{ ಘ.ಮೀ.}\)

ಶಂಕು

ಘನಫಲ: \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\)

ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(\pi r(r + l)\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (\(\pi \approx 3.14\))

1. ಒಂದು ಶಂಕುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ 3 ಸೆಂ.ಮೀ. ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 4 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಓರೆ ಎತ್ತರವನ್ನು (l) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 3^2 \times 4 = 37.68 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. 7 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು 10 ಸೆಂ.ಮೀ. ಓರೆ ಎತ್ತರವಿರುವ ಶಂಕುವಿನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{TSA} = \frac{22}{7} \times 7(7 + 10) = 374 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

3. ಒಂದು ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ 100π ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ 5 ಸೆಂ.ಮೀ. ಆದರೆ, ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(100\pi = \frac{1}{3}\pi(5^2)h \implies 100 = \frac{25}{3}h \implies h = 12 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

4. ಒಂದು ಶಂಕಾಕಾರದ ಟೆಂಟ್ 10 ಮೀ. ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಪಾದದ ತ್ರಿಜ್ಯ 24 ಮೀ. ಇದೆ. ಪ್ರತಿ ಚ.ಮೀ. ಗೆ ₹70 ರಂತೆ ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಬೇಕಾದ ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್‌ನ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(l = \sqrt{24^2 + 10^2} = 26 \text{ ಮೀ.}\)
\(\text{CSA} = \pi rl = \frac{22}{7} \times 24 \times 26 \approx 1961.14 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)
\(\text{ವೆಚ್ಚ} = 1961.14 \times 70 \approx ₹137,280\)

5. 24 ಸೆಂ.ಮೀ. ಎತ್ತರ ಮತ್ತು 6 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಶಂಕುವನ್ನು ಕರಗಿಸಿ ಗೋಳವಾಗಿ ಮರುರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು (R) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(V_{cone} = \frac{1}{3}\pi(6^2)(24) = 288\pi\)
\(V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi R^3\)
\(288\pi = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies R^3 = 216 \implies R = 6 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

ಗೋಳ

ಘನಫಲ: \(\frac{4}{3}\pi r^3\)

ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(4\pi r^2\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (\(\pi \approx 3.14\))

1. 3 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಗೋಳದ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 3^3 = 113.04 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{SA} = 4 \times 3.14 \times 3^2 = 113.04 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 616 ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 616 \implies r^2 = 49 \implies r = 7 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

3. 10.5 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಫುಟ್‌ಬಾಲ್ ಮಾಡಲು ಎಷ್ಟು ಚರ್ಮ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{SA} = 4 \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 = 1386 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

4. 6 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಲೋಹದ ಗೋಳವನ್ನು ಕರಗಿಸಿ 0.4 ಸೆಂ.ಮೀ. ವ್ಯಾಸದ ತಂತಿಯಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ತಂತಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi(6)^3 = 288\pi\)
\(r_{wire} = 0.2 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\). \(V_{wire} = \pi(0.2)^2 h\)
\(288\pi = 0.04\pi h \implies h = 7200 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.} = 72 \text{ ಮೀ.}\)

5. ಒಂದು ಗೋಳದ ಘನಫಲ 38808 ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 38808 \implies r^3 = 9261 \implies r = 21 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{SA} = 4 \times \frac{22}{7} \times 21^2 = 5544 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

ಅರ್ಧಗೋಳ

ಘನಫಲ: \(\frac{2}{3}\pi r^3\)

ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(3\pi r^2\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (\(\pi \approx \frac{22}{7}\))

1. ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ 7 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 \approx 718.67 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{TSA} = 3 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 462 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳಾಕಾರದ ಬಟ್ಟಲಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ 10.5 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದು ಎಷ್ಟು ಲೀಟರ್ ನೀರನ್ನು ಹಿಡಿಯಬಲ್ಲದು?

ಪರಿಹಾರ:
\(V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^3 = 2425.5 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.} = 2.4255 \text{ ಲೀಟರ್}\)

3. 14 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{CSA} = 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 14^2 = 1232 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

4. ಒಂದು ಘನ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 1848 ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(3 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 1848 \implies r^2 = 196 \implies r = 14 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

5. ಒಂದು ಆಟಿಕೆಯು 7 ಸೆಂ.ಮೀ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಶಂಕುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಟ್ಟು ಎತ್ತರ 31 ಸೆಂ.ಮೀ. ಆದರೆ, ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(h_{cone} = 31 – 7 = 24 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\). \(l_{cone} = \sqrt{7^2+24^2} = 25 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{TSA} = \text{CSA}_{hemi} + \text{CSA}_{cone} = 2\pi r^2 + \pi r l = \pi r (2r+l)\)
\(\text{TSA} = \frac{22}{7} \times 7(14+25) = 858 \text{ ಚ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರ್

ಘನಫಲ: \(\pi(R^2 – r^2)h\)

ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: \(2\pi(R+r)(h+R-r)\)

5 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (\(\pi \approx \frac{22}{7}\))

1. ಒಂದು ಕಬ್ಬಿಣದ ಪೈಪ್ 21 ಸೆಂ.ಮೀ. ಉದ್ದವಿದೆ. ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ತ್ರಿಜ್ಯ (R) 8 ಸೆಂ.ಮೀ. ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ತ್ರಿಜ್ಯ (r) 6 ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. ಬಳಸಿದ ಕಬ್ಬಿಣದ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(V = \frac{22}{7} \times (8^2 – 6^2) \times 21 = 22 \times (28) \times 3 = 1848 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

2. ಒಂದು ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರ್‌ನ R=10ಮೀ, r=7ಮೀ, h=20ಮೀ. ಇದೆ. ಅದರ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{TSA} = 2\pi(10+7)(20+10-7) = 2 \times \frac{22}{7} \times 17 \times 23 \approx 2470.28 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)

3. 10 ಮೀ. ಉದ್ದ, 20 ಸೆಂ.ಮೀ. ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು 2 ಸೆಂ.ಮೀ. ದಪ್ಪವಿರುವ ಟೊಳ್ಳಾದ ಕಬ್ಬಿಣದ ಪೈಪ್‌ನ ತೂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (1 ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಕಬ್ಬಿಣವು 8 ಗ್ರಾಂ ತೂಗುತ್ತದೆ).

ಪರಿಹಾರ:
\(r = 10-2=8 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}, h=1000 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(V = \frac{22}{7}(10^2 – 8^2)1000 \approx 113143 \text{ ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ.}\)
\(\text{ತೂಕ} = 113143 \times 8 \text{ ಗ್ರಾಂ} \approx 905.14 \text{ ಕೆ.ಜಿ.}\)

4. ಒಂದು ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರ್‌ನ ಘನಫಲ 616 ಘ.ಸೆಂ.ಮೀ. ಇದೆ. h=14ಸೆಂ.ಮೀ. ಮತ್ತು R=5ಸೆಂ.ಮೀ. ಆದರೆ, r ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(616 = \frac{22}{7} \times (5^2 – r^2) \times 14 \implies 616 = 44(25 – r^2)\)
\(14 = 25 – r^2 \implies r^2 = 11 \implies r \approx 3.32 \text{ ಸೆಂ.ಮೀ.}\)

5. ಒಂದು ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರ್‌ಗೆ (R=7ಮೀ, r=6ಮೀ, h=10ಮೀ) ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಬಣ್ಣ ಬಳಿಯಬೇಕು. ಬಳಿಯಬೇಕಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = \text{ಹೊರಗಿನ CSA} + \text{ಒಳಗಿನ CSA} = 2\pi R h + 2\pi r h = 2\pi h(R+r)\)
\(\text{ವಿಸ್ತೀರ್ಣ} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10(7+6) \approx 817.14 \text{ ಚ.ಮೀ.}\)